Formación de Imágenes por Lentes Delgadas (Fiz0312)

Latest revision as of 14:25, 22 October 2014

[edit] Formación de Imágenes por Lentes Delgadas

[edit] Objetivo

Estudiar la formación de imágenes por lentes delgadas.

[edit] Introducción

En óptica geométrica se puede definir una distancia focal por la aproximación paraxial. El sistema óptico entre objeto y pantalla se puede describir con una matriz

$M=\left( \begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array} \right)$ .

La condición para la formación de una imagen es: $B=0$ .

Un ejemplo simple es una lente delgada entre objeto y pantalla con la matriz:

$M=\left( \begin{array}{cc} 1 & d_i \\ 0 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1/f & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1 & d_0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$ .

Utilizando la condición B=0 se obtiene la llamada ecuación de lentes:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{d_0}+\frac{1}{d_i}$

donde $f$ es la distancia focal de la lente, $d_0$ es la distancia entre el objeto y la lente, y $d_i$ es la distancia entre la imagen y la lente, como muestra la figura 1. Lentes con $f>0$ se llaman lentes positivos y lentes con $f<0$ se llaman lentes negativos.

[edit] Equipamiento

- Banco Óptico.

- Lentes positivas y negativas.

- Fuente de Luz (Ampolleta).

- Fuente de poder para la ampolleta.

- Pantalla.

- Regla.

[edit] Primera Parte: Distancia Focal y Magnificación de una Lente positiva.

i) Obtenga una primera medición de la distancia focal de lentes convergentes, usando el hecho que fijando las posiciones del objeto (ampolleta) e imagen (pantalla), existen dos posiciones de la lente que producen imagen. Mida $d_0$ , $d_i$ y $h_i$ (altura de la imagen).

ii) Obtenga una segunda medición de la distancia focal, graficando $1/d_i$ $versus$ $1/d_0$ para la misma lente de la medición anterior. En este conjunto de mediciones determine para cada distancia $d_i$ el rango de distancia en la cual la imagen tiene una calidad aceptable y asocie a este valor el error en la determinación de la posición de la imagen.

Grafique $1/d_i$ $versus$ $1/d_o$ , usando los valores obtenidos, incluyendo en su gráfico las incertezas estimadas para $d_i$ . Grafique los rangos de incerteza en los valores $d_i$ .

iii) Usando sus datos $d_0$ , $d_i$ y $h_i$ haga un gráfico de $h_i$ vs $d_i/d_0$ , para calcular la altura del objeto.

[edit] Segunda Parte: Distancia Focal de una Lente Negativa

El procedimiento que ha empleado no puede utilizarse si la lente es negativa, ya que esta por si sola no puede formar una imagen real. Sin embargo, la distancia focal de una lente negativa puede calcularse si ella conforma con otra lente positiva un sistema que sea positivo. Para realizar la medición, considere el montaje óptico de la Figura 2, donde la lente positiva tiene su distancia focal conocida.

a) Arme un montaje óptico colocando entre el objeto y la pantalla una lente negativa y una lente positiva tal como se muestra en la figura 2.

b) Mueva las lentes hasta ver que se forme una imagen en la pantalla.

c) Mida las distancias $d_1$ , $d$ y $d_2$ . La distancia focal $f_-$ se puede determinar con dos métodos:

1) Utilizando las distancias medidas $d_1$ , $d$ y $d_2$ y la ecuación de lentes se pueden calcular posiciones de las imagenes reales y virtuales de los lentes con esto se puede obtener $f_-$ .

2) Se puede calcular la matriz del sistema óptico entre el objeto y la pantalla imponiendo la condición $B=0$ , de donde se obtiene un valor para $f_-$ .

d) Repita esta medición a fin de precisar su margen de error en la medición de la distancia focal de la lente negativa.

e) Compare los valores obtenidos para $f_-$ usando los dos métodos mencionados.

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 ===Introducción===
-En óptica geométrica se puede definir una distancia focal <math>f</math> por la aproximación paraxial.
+En óptica geométrica se puede definir una distancia focal por la aproximación paraxial.
-El sistema óptico entre objeto y pantalla se puede describir con una matriz <math>f=\[ \left( \begin{array}{ccc}
+El sistema óptico entre objeto y pantalla se puede describir con una matriz
-a & b & c \\
+:<center><m>M=\left( \begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array} \right)</m></center>.
-d & e & f \\
+La condición para la formación de una imagen es: <m> B=0</m>.
-g & h & i \end{array} \right)\] </math>
-En la aproximación paraxial, la formación de imágenes por una lente delgada está descrita por la ecuación:
+Un ejemplo simple es una lente delgada entre objeto y pantalla con la matriz:
+:<center><m>M=\left( \begin{array}{cc} 1 & d_i \\ 0 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1/f & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1 & d_0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)</m></center>.
+Utilizando la condición B=0 se obtiene la llamada ecuación de lentes:
+:<center><m>\frac{1}{f}=\frac{1}{d_0}+\frac{1}{d_i}</m></center>
+donde <m>f</m> es la distancia focal de la lente, <m>d_0</m> es la distancia entre el objeto y la lente, y <m>d_i</m> es la distancia entre la imagen y la lente, como muestra la figura 1.
+Lentes con <m>f>0</m> se llaman lentes positivos y lentes con <m>f<0</m> se llaman lentes negativos.
-:<center><math>\frac{1}{f}=\frac{1}{s_0}+\frac{1}{s_i}</math></center>
+[[File:lablent1.jpg|center|thumb|500px|]]
-donde <math>f</math> es la distancia focal de la lente, <math>s_0</math> es la distancia entre el objeto y la lente, y <math>s_i</math> es la distancia entre la imagen y la lente, como muestra la figura 1.
-[[File:Le1.png|center|thumb|500px|]]
 ===Equipamiento===
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 - Banco Óptico.
-- Lentes convergentes y divergentes.
+- Lentes positivas y negativas.
 - Fuente de Luz (Ampolleta).
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 - Regla.
+==Primera Parte: Distancia Focal y Magnificación de una Lente positiva.==
-==Primera Parte: Distancia Focal y Magnificación de una Lente Convergente.==
+: i) Obtenga una primera medición de la distancia focal de lentes convergentes, usando el hecho que fijando las posiciones del objeto (ampolleta) e imagen (pantalla), existen dos posiciones de la lente que producen imagen. Mida <m>d_0</m> ,<m>d_i</m>  y <m>h_i</m> (altura de la imagen).
-: i) Obtenga una primera medición de la distancia focal de lentes convergentes, usando el hecho que fijando las posiciones del objeto (ampolleta) e imagen (pantalla), existen dos posiciones de la lente que producen imagen.
-: ii) Obtenga una segunda medición de la distancia focal, graficando <math>1/s_i</math> <math>versus</math> <math>1/s_0</math> para la misma lente de la medición anterior. En este conjunto de mediciones determine para cada distancia <math>s_i</math> el rango de distancia en la cual la imagen tiene una calidad aceptable y asocie a este valor el error en la determinación de la posición de la imagen.
-: iii) Para obtener el conjunto de valores <math>s_i-s_0</math>, siga el procedimiento siguiente:
-:: a) Ubique el objeto (ampolleta) y la pantalla en los extremos opuestos del banco óptico.
-:: b) Posicione la lente entre el objeto y la pantalla.
-:: c) Mueva la lente a una posición en que se forme una imagen del objeto en la pantalla.
-: iv) Mida la distancia si imagen y la distancia so objeto.
-: v) Moviendo la pantalla en torno a la posición correspondiente a <math>s_i</math> haga una estimación del rango de distancia en que la imagen puede ser considerada en foco. Considere este rango como su error <math>d_i</math> en la determinación de la posición de la imagen.
-: vi) Dejando la pantalla en la posición si anterior, mueva la lente a una segunda posición donde la imagen esté en foco (no mueva la pantalla o la fuente de luz). Mida la distancia imagen y la distancia objeto, y determine nuevamente el rango de incerteza correspondiente en la distancia imagen. Mida también el tamaño de la imagen para esta posición.
-: vii) Mueva la pantalla hacia el objeto, hasta que no sea posible encontrar un par de posiciones de la lente en que la imagen esté en foco. A continuación mueva la pantalla, alejándola unos pocos centímetros del objeto. Repita la Parte i) para esta nueva posición en la pantalla, y para al menos otras cuatro posiciones intermedias de la pantalla, entre esta última y la correspondiente al extremo del banco.
-: viii) Grafique <math>1/s_i</math> <math>versus</math> <math>1/s_o</math>, usando los valores obtenidos, incluyendo en su gráfico las
-incertezas estimadas para <math>s_i</math>. Grafique los rangos de incerteza en los valores <math>s_i</math>.
-: ix) Usando sus datos de distancia objeto y distancia imagen para encontrar la magnificación en cada posición de la lente.
-==Segunda Parte: Distancia Focal de una Lente Divergente==
-El procedimiento que ha empleado no puede utilizarse si la lente es divergente, ya que esta por si sola no puede formar una imagen real. Sin embargo, la distancia focal de una lente divergente <math>L_D</math> puede calcularse si ella conforma con otra lente convergente <math>L_C</math> un sistema que sea convergente. Para realizar la medición, considere el montaje óptico de la Figura 2, donde la lente convergente tiene su distancia focal conocida.
-[[File:Le2.png|center|thumb|500px|]]
-a) Posicione solo la lente convergente entre el objeto y la pantalla.
-b) Con la ampolleta (objeto) y la pantalla posicionados en los extremos del banco óptico, mueva la lente convergente, de modo tal que se forme una imagen sobre la pantalla. Esta imagen servirá como un objeto virtual para el lente divergente. Anote la distancia, <math>v_1</math>, que se indican el la figura 2.
-c) Posicione ahora la lente divergente entre la lente convergente y la pantalla, mueva la lente divergente y la pantalla, de modo tal que se forme una imagen sobre la pantalla.
-d) Anote la distancia, <math>v_2</math> y <math>d</math>, que se indican el la figura 2.
-e) La distancia objetiva para el objeto virtual del lente divergente es dada por <math>u_2 = (d - v_1)</math>. La ecuación, <math>f = u_2 v_2 / (u_2 + v_2)</math>, puede ser utilizado para resolver la distancia focal de la lente divergente, que será igualmente negativa.
-f) Repita esta medición para otros valores, a fin de precisar su margen de error en la medición de la distancia focal de la lente divergente.
-==Tercera Parte: Telescopio Astronómico Simple==
-Un telescopio astronómico está formado por dos lentes convexas de distancias focales <math>f_{ab}</math> (lente #1) y <math>f_0</math> (lente #2). El diagrama de rayos para este experimento (se muestra en la figura 3) indica que la imagen está en el mismo plano que el objeto. Al estar la imagen en el mismo plano que el objeto, es posible determinar la distancia a la imagen virtual. Para este experimento se supone que las lentes son delgadas en comparación a las otras distancias involucradas. Por esta razón, se puede usar la ecuación 1 para lentes delgadas.
-[[File:Le3.png|center|thumb|500px|]]
-La magnificación de un sistema de dos lentes es igual al producto de las magnificaciones de las lentes individuales.
-:<center<math>M=M_1 \cdot M_2=\left( -\frac{s_{i1}}{s_{o2}}\right) \cdot \left( -\frac{s_{i2}}{s_{o2}} \right)</math>>
-Para medir la magnificación de su telescopio, siga el siguiente procedimiento:
-: i) Ponga el papel cuadriculado incluido en la guía sobre la pantalla, usando clips. El cuadriculado en la pantalla actúa como objeto.
-[[File:Le4.png|center|thumb|500px|]]
-: ii) La lente de mayor distancia focal es el objetivo (la más cercana al objeto). La lente de menor distancia focal es el ocular (la más cercana al ojo). Ponga las lentes cerca de un extremo del banco óptico y ponga la pantalla en el otro extremo. Ver figura 4.
-: iii) Enfoque la imagen del objeto (el cuadriculado en la pantalla), moviendo el lente objetivo (el más cercano al objeto). Para mirar la imagen, usted debe acercar un ojo al lente ocular.
-[[File:Le5.png|right|thumb|250px|]]
+: ii) Obtenga una segunda medición de la distancia focal, graficando <m>1/d_i</m> <m>versus</m> <m>1/d_0</m> para la misma lente de la medición anterior. En este conjunto de mediciones determine para cada distancia <m>d_i</m> el rango de distancia en la cual la imagen tiene una calidad aceptable y asocie a este valor el error en la determinación de la posición de la imagen.
-: iv) Elimine el paralaje moviendo la lente ocular hasta que la imagen está en el mismo plano que el objeto (pantalla). Para observar el paralaje, abra ambos ojos y mire la imagen a través de los lentes, de modo tal que un ojo vea la imagen y el otro directamente al objeto, por fuera de los lentes (ver figura 5). Las líneas de la imagen (lineas sólidas de la figura 5) se superponen a las lineas del objeto (se muestran punteadas en la figura 5).
+Grafique <m>1/d_i</m> <m>versus</m> <m>1/d_o</m>, usando los valores obtenidos, incluyendo en su gráfico las
+incertezas estimadas para <m>d_i</m>. Grafique los rangos de incerteza en los valores <m>d_i</m>.
+: iii) Usando sus datos <m>d_0</m> ,<m>d_i</m>  y <m>h_i</m> haga un gráfico de <m>h_i</m> vs <m>d_i/d_0</m>, para calcular la altura del objeto.
-: v) Mueva su cabeza hacia adelante y hacia atrás, arriba y abajo. Al mover la cabeza, las líneas de la imagen se mueven relativas a la del objeto, debido al paralaje. Para eliminar el paralaje, mueva el lente ocular hasta que las lineas del objeto y la imagen no se muevan unas con respecto de las otras al mover la cabeza. Cuando no hay paralaje, las lineas en el centro del lente parecen pegadas a las del objeto.
+==Segunda Parte: Distancia Focal de una Lente Negativa==
-: vi) Habiendo eliminado el paralaje, la imagen virtual se encuentra en el mismo plano que el objeto. Anote las posiciones de los lentes.
+El procedimiento que ha empleado no puede utilizarse si la lente es negativa, ya que esta por si sola no puede formar una imagen real. Sin embargo, la distancia focal de una lente negativa puede calcularse si ella conforma con otra lente positiva un sistema que sea positivo. Para realizar la medición, considere el montaje óptico de la Figura 2, donde la lente positiva tiene su distancia focal conocida.
-: vii) Mida la magnificación del telescopio, contando el número de cuadrados en el objeto que corresponden a un cuadrado de la imagen. Para hacer esto, debe mirar la imagen a través del telescopio con un ojo, mientras el otro mira directamente al objeto. Anote la magnificación observada.
-: viii) Retire la pantalla y mire a través del lente un objeto distante, tal como una regla en el lado opuesto de la sala. Elimine el paralaje y determine la magnificación. Al observar con el telescopio un objeto ubicado ubicado muy lejos, la magnificación es el cuociente entre las distancias focales de los lentes usados. Verifique si esto se cumple para su telescopio.
+[[File:lablent.jpg|center|thumb|500px|]]
-==Análisis Básico de los Datos==
+a) Arme un montaje óptico colocando entre el objeto y la pantalla una lente negativa y una lente positiva tal como se muestra en la figura 2.
-: 1) Determine <math>s_{o1}</math>, la distancia del objeto (cuadriculado en papel en la pantalla) al lente objetivo.
+b) Mueva las lentes hasta ver que se forme una imagen en la pantalla.
-: 2) Determine <math>s_{is}</math>, la distancia entre la lente ocular y la imagen. dado que la imagen está en el plano del objeto, esta es también la distancia entre el ocular y el objeto (pantalla)
+c) Mida las distancias <m>d_1</m>, <m>d</m> y <m>d_2</m>. La distancia focal <m>f_-</m> se puede determinar con dos métodos:
-: 3) Calcule <math>s_{i1}</math> con la fórmula para lente delgada, usando <math>s_{o1}</math> y la distancia focal de la lente objetivo
+) Utilizando las distancias medidas <m>d_1</m>, <m>d</m> y <m>d_2</m> y la ecuación de lentes se pueden calcular posiciones de las imagenes reales y virtuales de los lentes con esto se puede obtener <m>f_-</m>.
-: 4) Calcule <math>s_{o2}</math> con la formula general para lente delgada, usando <math>s_{o1}</math> y la distancia focal de la lente ocular.
+) Se puede calcular la matriz del sistema óptico entre el objeto y la pantalla imponiendo la condición <m>B=0</m>, de donde se obtiene un valor para <m>f_-</m>.
-: 5) Calcule la magnificación, usando los valores obtenidos para distancias objeto e imagen de ambas lentes.
+d) Repita esta medición a fin de precisar su margen de error en la medición de la distancia focal de la lente negativa.
-: 6) Compare con el valor obtenido visualmente.
+e) Compare los valores obtenidos para <m>f_-</m> usando los dos métodos mencionados.

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