Capacitancia y Dieléctrico (Fiz0221)

Revision as of 14:25, 15 July 2011

Capacitancia y Dieléctrico

Objetivo

Investigar la relación entre la carga, el voltaje y la capacitancia en un condensador de placas paralelas.

Materiales

- Condensador de placas paralelas

- Fuente de Poder

- Jaula de Faraday

- Electrómetro

- Conectores

- Plano de prueba

- Esfera

Introducción

Figura 1: Esquema de un electrómetro.

La capacitancia de un condensador de placas paralelas viene dada por $LaTeX: C=\frac{\epsilon A}{d}$ , donde $LaTeX: \epsilon$ corresponde a la constante dieléctrica, $LaTeX: A$ es el área de las placas y $LaTeX: d$ es la distancia entre las placas.

$LaTeX: \epsilon=K \epsilon_0$

Donde $LaTeX: K \geq 1$ es el coeficiente dieléctrico (sin dimensión) y $LaTeX: \epsilon_0=8.85 \cdot 10^-12 \frac{C}{Nm^2}$ .

Diferentes materiales pueden ser insertados entre las placas para medir el coeficiente del dieléctrico de los materiales.

Si se desea medir la carga, el voltaje o la capacitancia, se necesite considerar el efecto de la capacitancia interna del electrómetro, a no ser que esté seguro que el condensador que esté usando tenga una alta capacitancia de tal modo que $LaTeX: C_E$ pueda ser despreciable

Parte A: Medición de la Capacitancia del Electrómetro

Cuando un condensador de carga conocida $LaTeX: C$ es cargado con un voltaje conocido $LaTeX: V$ , la carga está dada por: $LaTeX: Q=CV$ . Si el condensador cargado es conectado a través de los terminales del electrómetro, se conecta en paralelo con la capacitancia interna del electrómetro $LaTeX: C_E$ . La capacitancia total viene dada por: $LaTeX: C+C_E$ . El condensador conocido se descarga a través del electrómetro, y el voltaje $LaTeX: V_E$ será leído. Ya que la carga total del sistema $LaTeX: (C+C_E)V$ es igual a la carga original del condensador conocido $LaTeX: CV$ , tendremos que:

$LaTeX: CV=(C+C_E) \cdot V_E$

1) Obtenga un condensador de baja fuga de un valor aproximado de $LaTeX: 30 pF$ .

2) Cargue el condensador con un voltaje V conocido no mayor que $LaTeX: 100 V$ (el límite del electrómetro).

3) Retire el condensador cargado de la fuente de poder usada para cargarlo. Asegúrese de no conectarlo con tierra en alguna parte para evitar descargarlo.

4) Conecte el condensador cargado a través de los cables de entrada del electrómetro. Anote el voltaje $LaTeX: V_E$ indicado por el electrómetro.

5) Calcule la capacitancia interna del electrómetro: $LaTeX: C_E=\frac{C(V-V_E)}{V_E}$

Parte B: Medición de C,V y Q para un condensador de Placas Paralelas.

El propósito de los experimentos listados en esta parte es el estudio cualitativo de la relación entre $LaTeX: C$ , $LaTeX: V$ y $LaTeX: Q$ para un condensador de placas paralelas. El electrómetro puede ser conectado a un computador y usado con la interfaz Science Workshop para obtener información del gráfico.

Parte B.1: Medición de $LaTeX: V$ con $LaTeX: C$ constante y $LaTeX: Q$ variable

Figura 2

1) Conecte el condensador de placas paralelas al electrómetro. Ver figura 2. El electrómetro está puesto a tierra. Una de las esferas está conectada a la fuente de voltaje puesta a $LaTeX: 1000 VDC$ . Lleve con cuidado el condensador a un lugar suficientemente lejos de la esfera y de la fuente para prevenir que sea cargado por inducción.

2) Presione el cero para eliminar las cargas residuales del electrómetro y las placas del condensador.

3) Ajuste la separación de las placas $LaTeX: d=2mm$ . Use un plano de prueba para transferir la carga de la esfera cargada al condensador de placas. La carga es transferida simplemente tocando el plano de prueba y luego una placa del condensador.

4) Observe como la lectura de la diferencia de potencial del electrómetro cambia así como mas carga se va transmitiendo al condensador de placas paralelases puesta en el capacitor.

5) Duplique la separación de las placas y repita la experiencia. ¿Qué le sucede al potencial ahora?. Compare los valores al caso anterior.

Parte B.2: Medición de $LaTeX: Q$ con $LaTeX: V$ constante y $LaTeX: C$ variable

Figura 3

1) Separe las placas del condensador una distancia $LaTeX: d=6 cm$ , y conéctelas a la fuente de voltaje a $LaTeX: 1000 VDC$ . Conecte la Jaula de Faraday al electrómetro y éste último a tierra. Ver figura 3.

2) Momentáneamente conecte a tierra el plano de prueba y úsela para examinar la densidad de carga del condensador, usando la jaula para medir la carga. Investigue la densidad de carga en varios puntos sobre las placas, en el interior y en el exterior de las superficies. ¿Cómo varía la densidad de carga sobre las placas?.

3) Escoja un punto cerca del centro de una de las placas del condensador y mida la densidad de carga en ésta área para diferentes separaciones de las placas.¿cómo varía la carga con la capacitancia?.

Parte B.3: Medición de $LaTeX: V$ con $LaTeX: C$ variable y $LaTeX: Q$ constante

Figura 4

1) Conecte el condensador de placas paralelas al electrómetro y este último a tierra. La fuente de voltaje será usada solo para

cargar el capacitor.

2) Separe las placas a una distancia $LaTeX: d= 2mm$ , cargue las placas momentáneamente conectándolas a través de la fuente de voltaje puesta en $LaTeX: 30 V$ .

Ajuste la sensibilidad de la escala del electrómetro para que las placas cargadas inicialmente representen la mediada de la lectura de acerca $LaTeX: 1/5$ de la escala.

3) Aumente la separación de las placas y anote alas lecturas del electrómetro para varias separaciones.¿Cómo varía el potencial de la capacitancia?

Parte C: Constante Dielectrica

El coeficiente dieléctrico $LaTeX: K$ es el factor adimensional para el cual la capacitancia aumenta (relativo al valor de la capacitancia antes del dieléctrico)cuando un dieléctrico es insertado entre las placas. El coeficiente $LaTeX: K$ es una propiedad fundamental del material dieléctrico y es independiente del tamaño o forma del condensador.

El procedimiento ideal para medir $LaTeX: K$ debería ser simplemente deslizar la pieza de material dieléctrico entre las placas paralelas de un condensador cargado y entonces anotar los cambios en el potencial. Sin embargo deslizando un dieléctrico entre las placas de un condensador cuando ellas están muy juntas puede generar una importante carga estática que alteraría las mediciones. Por lo tanto es mejor proceder como sigue:

Figura 5

1) Conecte el electrómetro a través de las placas del condensador y ajuste la separación entre las placas $LaTeX: d= 3mm$ .

2) Levante un lado del montaje como lo indica la figura 5 alrededor de $LaTeX: 3 cm$ de altura.

3) Use la fuente de voltaje para tocar momentáneamente las placas y cargarlas cerca de $LaTeX: 4/5$ de la escala completa. Registre la lectura de voltaje del electrómetro, $LaTeX: V_i$ .

4) Cuidadosamente aumente la separación de las placas hasta que sea capaz de insertar el dieléctrico sin forzarlo. Debería ser suficiente para que Ud. pueda simplemente apoyar la hoja dieléctrica contra la placa estacionaria. Asegúrese que el dieléctrico que Ud. esté usando esté libre de cargas residuales antes de insertarlo.

5) Después de insertar el dieléctrico, vuelva las placas a la separación original de $LaTeX: 3 mm$ y registre una nueva lectura de $LaTeX: V_f$ en el electrómetro.

6) Separe las placas hacia atrás y saque cuidadosamente el dieléctrico.

7) Vuelva las placas a la separación original de $LaTeX: 3mm$ y chequeé que las lecturas del electrómetro concuerden con las lecturas originales, $LaTeX: V_i$ .

8)Determine el coeficiente dieléctrico (ver análisis)

Análisis

Los cálculos necesarios para determinar la constante dieléctrica son muy largos, pero sencillos:

Figura 6: Diagrama de circuitos con y sin dieléctricos.

Antes de insertar el dieléctrico

Tenemos que:

$LaTeX: q_p$ : es la carga en las placas del capacitor.

$LaTeX: C_p$ : es la capacitancia de las placas sin el dieléctrico

$LaTeX: Q_E$ : es la carga en $LaTeX: C_E$

$LaTeX: CE$ : es la capacitancia interna del electrómetro

$LaTeX: V_i$ : es la lectura inicial del electrómetro

La carga total en este sistema inicial está dada por:

$LaTeX: q_p + q_E = (C_p + C_E) \cdot V_i \qquad\qquad\qquad (1)$

Después de insertar el dieléctrico

Tenemos que:

$LaTeX: q’_p$ : es la nueva carga en las placas del condensador.

$LaTeX: C’_p$ : es la capacitancia de las placas con el dieléctrico

$LaTeX: q’_E$ : es la nueva carga en $LaTeX: C_E$

$LaTeX: C_E$ : es la capacitancia interna del electrómetro

$LaTeX: V_f$ : es la nueva lectura inicial del electrómetro

La carga total en este sistema después de insertar el dieléctrico está dada por:

$LaTeX: q’_p + q’_E = (C’_p + C_E) \cdot V_f \qquad\qquad\qquad (2)$

Ahora la cantidad total de carga en el sistema no ha cambiado por lo tanto:

$LaTeX: q_p + q_E = q’_p + q’_E \qquad\qquad\qquad (3)$

$LaTeX: (C_p + C_E)V_i = (C’_p + C_E) \cdot V_f \qquad\qquad\qquad (4)$

Multiplicando la ec.(4) por $LaTeX: \frac{1}{C_p V_f}$ se tiene que :

$LaTeX: \frac{C'_p}{C_p}=\frac{C_E\cdot (V_i - V_f ) + C_P V_i}{C_p V_f} \qquad\qquad\qquad (5)$

Donde la razón $LaTeX: C’_P/C_P$ corresponde al coeficiente dieléctrico $LaTeX: K$ :

$LaTeX: K=\frac{\epsilon A_d}{\epsilon_0 A_d}=\frac{C'_p}{C_p}$

Tabla 1: Algunos coeficientes dieléctricos

@@ Line 160: / Line 160: @@
-<center><math>q_p + q_E = (C_p + C_E)V_i</math></center>  (1)
+<center><math>q_p + q_E = (C_p + C_E) \cdot V_i \qquad\qquad\qquad (1)</math></center>
@@ Line 182: / Line 182: @@
 La carga total en este sistema después de insertar el dieléctrico está dada por:
-<center><math>q’_p + q’_E = (C’_p + C_E)V_f</math></center>   (2)
+<center><math>q’_p + q’_E = (C’_p + C_E) \cdot V_f \qquad\qquad\qquad (2)</math></center>
 Ahora la cantidad total de carga en el sistema no ha cambiado por lo tanto:
-<center><math>q_p + q_E = q’_p + q’_E</math></center>  (3)
+<center><math>q_p + q_E = q’_p + q’_E \qquad\qquad\qquad (3)</math></center>
-<center><math>(C_p + C_E)V_i = (C’_p + C_E)V_f</math></center> (4)
+<center><math>(C_p + C_E)V_i = (C’_p + C_E) \cdot V_f \qquad\qquad\qquad (4)</math></center>
 Multiplicando la ec.(4) por <math>\frac{1}{C_p V_f}</math> se tiene que :
-<center><math>\frac{C'_p}{C_p}=\frac{C_E(V_i - V_f ) + C_P V_i}{C_p V_f}</math></center> (5)
+<center><math>\frac{C'_p}{C_p}=\frac{C_E\cdot (V_i - V_f ) + C_P V_i}{C_p V_f} \qquad\qquad\qquad (5)</math></center>

Capacitancia y Dieléctrico (Fiz0221)

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