El Giróscopo (Fis 151/Fis 1513) - Revision history

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‎Introducción

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‎Introducción

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‎Introducción

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==El Giróscopo==

===Objetivo===

Medir la razón de la precesión del un giróscopo y compararlo con el valor teórico.

===Introducción===

Un torque es aplicado al giróscopo al colgar una masa en el extremo del eje. Este torque causa que el giróscopo tenga un movimiento de a una cierta velocidad angular, <math>v</math>. Se asume que el giróscopo está inicialmente balanceado en la posición horizontal, <math>\theta = 90</math>°. El disco gira a una velocidad angular <math>\omega</math>, y entonces la masa <math>m</math>, es ajustada al extremo del eje del giróscopo a una distancia <math>d</math>, del eje de rotación.

Esto causa un torque <math>\tau = mgd</math>. Pero el torque es también igual a

:<center><math>\tau = dL/dt</math></center>

donde <math>L</math> es el momentum angular del disco. Así como se muestra en la Figura 1, para pequeños cambios de ángulos,<math> d \phi</math>,

:<center><math>dL = L d\phi</math></center>

[[File:Gir1.png|center|thumb|700px|]]

Reemplazando por <math>dL</math> en la ecuación de torque dada, se tiene que:

:<center><math>\tau = m \cdot g \cdot d = \frac{dL}{dt} = L \frac{d \phi}{dt}</math></center>

Donde <math>d \phi/dt= \Omega</math>, la velocidad de precesión:

:<center><math>m \cdot g \cdot d = L \cdot \Omega</math></center>

Y la razón de precesión está dada por,

:<center><math>\Omega = \frac{m \cdot g \cdot d}{I \cdot \omega}</math></center>

donde <math>I</math> es la inercia rotacional del disco y <math>\omega</math> es la velocidad angular del disco.

Para encontrar la inercia rotacional del disco en forma experimental, se debe conocer el torque aplicado al disco y medir la resultante de la aceleración angular. Luego,

:<center><math>\tau = I \cdot \alpha</math></center>

Donde, <math>\alpha</math> es la aceleración angular: <math>\alpha = a/r</math>

<math>\tau</math> es el torque causado por el peso que cuelga del hilo que se envuelve alrededor de la polea en el disco. <math>\therefore \tau = r F</math> ., donde <math>r</math> es el radio de la polea sobre la cual el hilo se enrolla en el disco y <math>F</math> es la tensión en el hilo cuando está rotando.

Aplicando la segunda Ley de Newton para la masa colgante <math>m</math> , se tiene

:<center><math>\sum F = m\cdot g - F = m \cdot a</math></center>

[[File:Gir2.png|center|thumb|700px|]]

Luego la ecuación en la cuerda dada:

:<center><math> F = m\cdot (g - a)</math></center>

Así una vez que la aceleración lineal de la masa (<math>m</math>) esté determinada, el torque y la aceleración angular pueden ser obtenidas por el cálculo de la inercia rotacional. La aceleración se obtiene durante el momento de caída de la masa colgante, desde el reposo hasta una cierta distancia (<math>y</math>). Entonces la aceleración está dada por:

:<center><math>a= \frac{2 \cdot y}{t^2}</math></center>

===Procedimiento===

===='''Parte I: Midiendo la razón de Precesión'''====

: 1.- Nivele la base del giróscopo con un instrumento de nivel.

: 2.- Ajuste la posición del contrapeso (zona larga) hasta que el giróscopo esté balanceado sin las masas adicionales. El pequeño contrapeso(el cual será un colgante) puede ser usado para afinar el balanceo (90 grados según graduación del giróscopo)

: 3.- Pese la masa adicional y registre el valor en la tabla 1. Ajuste esta masa en el extremo del eje. Mida la distancia (<math>d</math>) del eje de rotación del giróscopo al centro de la masa adicional. Registre la distancia en la tabla 1.

: 4.- Mientras sostiene el giróscopo para que no pueda precesar (manteniéndolo en 90 grados), girar el disco cerca de 2 revoluciones por segundo. Cuente 10 revoluciones del disco para determinar la velocidad angular inicial.

: 5.- Deje el giróscopo en movimiento (suéltelo) y tome el tiempo de 2 revoluciones del giróscopo para encontrar la razón de precesión (<math>\frac{2}{r}rev/s</math>)

: 6.- Inmediatamente repita la medición de la velocidad angular para 10 revoluciones del disco.

: 7.- Los datos de velocidad angular inicial y final deberán ser usados para encontrar el promedio de la velocidad angular del disco durante la precesión.

[[File:Gir3.png|center|thumb|700px|]]

===='''ParteII: Midiendo cantidades para el Valor teórico.'''====

=====Montaje:=====

: 1.- Ajuste el eje del giróscopo en posición horizontal, figura 3.

[[File:Gir4.png|center|thumb|700px|]]

: 2.- Ajuste la polea móvil a un soporte universal, de tal forma que quede en el mismo plano y a la misma altura que la polea del disco.

: 3.- Enrolle suficiente hilo en la polea del disco y hágalo pasar por la polea móvil.

===Procedimiento===

===='''Considerando la fricción'''====

Dado que el roce no está considerado en la teoría, será compensado en este experimento para encontrar cuánta masa sobre la polea se necesita para superar el roce cinético. Luego esta “masa de fricción” se restará de la masa utilizada para acelerar el sistema.

* Para encontrar la masa requerida que supera el roce cinético, poner la suficiente masa colgando sobre la polea hasta que la velocidad sea constante. Registre el valor de esta masa en la tabla 2.

===='''Considerando la fricción'''====

* Para encontrar la aceleración, poner cerca de <math>30 gr</math>.(registre este valor en la tabla 2) colgando de la polea. Tire el hilo hacia arriba y deje la masa caer de la mesa al piso. Mida el tiempo de caída.

* Repita el paso anterior para 5 veces, siempre comenzando con la masa colgante en la misma posición.

* Mida la altura de caída de la masa y regístrela en la tabla 2.

===='''Medición del Radio'''====

* Con un pie de metro mida el diámetro de la polea del disco. Obtenga el radio. Regístrelo en la tabla 2.

[[File:Gir5.png|center|thumb|700px|]]

===Análisis===

: 1.- Usando el promedio del tiempo de la tabla 2, calcule la aceleración y registre el resultado en la tabla 3.

: 2.- Calcule la inercia rotacional:

:: a) Reste la “masa de fricción” de la masa colgante usada al acelerar el disco para determinar la masa, m, que será usada en la ecuaciones.

:: b) Calcule el valor experimental de la inercia rotacional y regístrelo en la tabla 3.

: 3.- Usando los tiempos para 10 revoluciones, en la tabla 1, divida por 10 para encontrar el periodo. Promedie estos dos periodos y calcule el promedio de la velocidad angular (<math>\omega =2 \pi/T_{disco}</math>). Registre la velocidad angular en la tabla 3.

: 4.- Encontrar el valor experimental para la precesión, dividiendo el tiempo de la precesión por dos (recuerde que se tomo el tiempo para 2 revoluciones) y calcule <math>\Omega = 2\pi /T_{precesión}</math>. Registre en la tabla 3.

: 5.- Calcule el valor teórico de la precesión y regístrelo en la tabla 3.

: 6.- Calcule el porcentaje de diferencia entre el valor experimental y el teórico de la precesión.

[[File:Gir6.png|center|thumb|700px|]]

===Preguntas===

* ¿Qué sucederá con la dirección de la precesión si el giro del disco es invertido?

* ¿Cómo cambiará el valor de la precesión si la velocidad del disco comienza a aumentar?

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 ===Introducción===
-Un torque es aplicado al giróscopo al colgar una masa en el extremo del eje. Este torque causa que el giróscopo tenga un movimiento de a una cierta velocidad angular, <math>v</math>. Se asume que el giróscopo está inicialmente balanceado en la posición horizontal, <math>\theta = 90</math>°. El disco gira a una velocidad angular <math>\omega</math>, y entonces la masa <math>m</math>, es ajustada al extremo del eje del giróscopo a una distancia <math>d</math>, del eje de rotación.
+Un torque es aplicado al giróscopo al colgar una masa en el extremo del eje. Este torque causa que el giróscopo tenga un movimiento de a una cierta velocidad angular, <m>v</m>. Se asume que el giróscopo está inicialmente balanceado en la posición horizontal, <m>\theta = 90</m>°. El disco gira a una velocidad angular <m>\omega</m>, y entonces la masa <m>m</m>, es ajustada al extremo del eje del giróscopo a una distancia <m>d</m>, del eje de rotación.
-Esto causa un torque <math>\tau = mgd</math>. Pero el torque es también igual a
+Esto causa un torque <m>\tau = mgd</m>. Pero el torque es también igual a
-:<center><math>\tau = \frac{dL}{dt}</math></center>
+:<center><m>\tau = \frac{dL}{dt}</m></center>
-donde <math>L</math> es el momentum angular del disco. Así como se muestra en la Figura 1, para pequeños cambios de ángulos, <math> d  \phi </math>,
+donde <m>L</m> es el momentum angular del disco. Así como se muestra en la Figura 1, para pequeños cambios de ángulos, <m> d  \phi </m>,
-:<center><math>dL = L \cdot d \phi </math></center>
+:<center><m>dL = L \cdot d \phi </m></center>
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-Reemplazando por <math>dL</math> en la ecuación de torque dada, se tiene que:
+Reemplazando por <m>dL</m> en la ecuación de torque dada, se tiene que:
-:<center><math>\tau = m \cdot g \cdot d = \frac{dL}{dt} = L \frac{d \phi}{dt}</math></center>
+:<center><m>\tau = m \cdot g \cdot d = \frac{dL}{dt} = L \frac{d \phi}{dt}</m></center>
-Donde <math>d \phi/dt= \Omega</math>, la velocidad de precesión:
+Donde <m>d \phi/dt= \Omega</m>, la velocidad de precesión:
-:<center><math>m \cdot g \cdot d = L \cdot \Omega</math></center>
+:<center><m>m \cdot g \cdot d = L \cdot \Omega</m></center>
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-:<center><math>\Omega = \frac{m \cdot g \cdot d}{I \cdot \omega}</math></center>
+:<center><m>\Omega = \frac{m \cdot g \cdot d}{I \cdot \omega}</m></center>
-donde <math>I</math> es la inercia rotacional del disco y <math>\omega</math> es la velocidad angular del disco.
+donde <m>I</m> es la inercia rotacional del disco y <m>\omega</m> es la velocidad angular del disco.
 Para encontrar la inercia rotacional del disco en forma experimental, se debe conocer el torque aplicado al disco y medir la resultante de la aceleración angular. Luego,
-:<center><math>\tau = I \cdot \alpha</math></center>
+:<center><m>\tau = I \cdot \alpha</m></center>
-Donde, <math>\alpha</math> es la aceleración angular: <math>\alpha = a/r</math>
+Donde, <m>\alpha</m> es la aceleración angular: <m>\alpha = a/r</m>
-<math>\tau</math> es el torque causado por el peso que cuelga del hilo que se envuelve alrededor de la polea en el disco. <math>\therefore \tau = r F</math> ., donde <math>r</math> es el radio de la polea sobre la cual el hilo se enrolla en el disco y <math>F</math> es la tensión en el hilo cuando está rotando.
+<m>\tau</m> es el torque causado por el peso que cuelga del hilo que se envuelve alrededor de la polea en el disco. <m>\therefore \tau = r F</m> ., donde <m>r</m> es el radio de la polea sobre la cual el hilo se enrolla en el disco y <m>F</m> es la tensión en el hilo cuando está rotando.
-Aplicando la segunda Ley de Newton para la masa colgante <math>m</math> , se tiene
+Aplicando la segunda Ley de Newton para la masa colgante <m>m</m> , se tiene
-:<center><math>\sum F = m\cdot g - F = m \cdot a</math></center>
+:<center><m>\sum F = m\cdot g - F = m \cdot a</m></center>
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-:<center><math> F = m\cdot (g - a)</math></center>
+:<center><m> F = m\cdot (g - a)</m></center>
-Así una vez que la aceleración lineal de la masa (<math>m</math>) esté determinada, el torque y la aceleración angular pueden ser obtenidas por el cálculo de la inercia rotacional. La aceleración se obtiene durante el momento de caída de la masa colgante, desde el reposo hasta una cierta distancia (<math>y</math>). Entonces la aceleración está dada por:
+Así una vez que la aceleración lineal de la masa (<m>m</m>) esté determinada, el torque y la aceleración angular pueden ser obtenidas por el cálculo de la inercia rotacional. La aceleración se obtiene durante el momento de caída de la masa colgante, desde el reposo hasta una cierta distancia (<m>y</m>). Entonces la aceleración está dada por:
-:<center><math>a= \frac{2 \cdot y}{t^2}</math></center>
+:<center><m>a= \frac{2 \cdot y}{t^2}</m></center>
 ===Procedimiento===
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 : 2.- Ajuste la posición del contrapeso (zona larga) hasta que el giróscopo esté balanceado sin las masas adicionales. El pequeño contrapeso(el cual será un colgante) puede ser usado para afinar el balanceo (90 grados según graduación del giróscopo)
-: 3.- Pese la masa adicional y registre el valor en la tabla 1. Ajuste esta masa en el extremo del eje. Mida la distancia (<math>d</math>) del eje de rotación del giróscopo al centro de la masa adicional. Registre la distancia en la tabla 1.
+: 3.- Pese la masa adicional y registre el valor en la tabla 1. Ajuste esta masa en el extremo del eje. Mida la distancia (<m>d</m>) del eje de rotación del giróscopo al centro de la masa adicional. Registre la distancia en la tabla 1.
 : 4.- Mientras sostiene el giróscopo para que no pueda precesar (manteniéndolo en 90 grados), girar el disco cerca de 2 revoluciones por segundo. Cuente 10 revoluciones del disco para determinar la velocidad angular inicial.
-: 5.- Deje el giróscopo en movimiento (suéltelo) y tome el tiempo de 2 revoluciones del giróscopo para encontrar la razón de precesión (<math>\frac{2}{r}rev/s</math>)
+: 5.- Deje el giróscopo en movimiento (suéltelo) y tome el tiempo de 2 revoluciones del giróscopo para encontrar la razón de precesión (<m>\frac{2}{r}rev/s</m>)
 : 6.- Inmediatamente repita la medición de la velocidad angular para 10 revoluciones del disco.
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 ===='''Considerando la fricción'''====
-* Para encontrar la aceleración, poner cerca de <math>30 gr</math>.(registre este valor en la tabla 2) colgando de la polea. Tire el hilo hacia arriba y deje la masa caer de la mesa al piso. Mida el tiempo de caída.
+* Para encontrar la aceleración, poner cerca de <m>30 gr</m>.(registre este valor en la tabla 2) colgando de la polea. Tire el hilo hacia arriba y deje la masa caer de la mesa al piso. Mida el tiempo de caída.
 * Repita el paso anterior para 5 veces, siempre comenzando con la masa colgante en la misma posición.
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 :: b) Calcule el valor experimental de la inercia rotacional y regístrelo en la tabla 3.
-: 3.- Usando los tiempos para 10 revoluciones, en la tabla 1, divida por 10 para encontrar el periodo. Promedie estos dos periodos y calcule el promedio de la velocidad angular (<math>\omega =2 \pi/T_{disco}</math>). Registre la velocidad angular en la tabla 3.
+: 3.- Usando los tiempos para 10 revoluciones, en la tabla 1, divida por 10 para encontrar el periodo. Promedie estos dos periodos y calcule el promedio de la velocidad angular (<m>\omega =2 \pi/T_{disco}</m>). Registre la velocidad angular en la tabla 3.
-: 4.- Encontrar el valor experimental para la precesión, dividiendo el tiempo de la precesión por dos (recuerde que se tomo el tiempo para 2 revoluciones) y calcule <math>\Omega = 2\pi /T_{precesión}</math>. Registre en la tabla 3.
+: 4.- Encontrar el valor experimental para la precesión, dividiendo el tiempo de la precesión por dos (recuerde que se tomo el tiempo para 2 revoluciones) y calcule <m>\Omega = 2\pi /T_{precesión}</m>. Registre en la tabla 3.
 : 5.- Calcule el valor teórico de la precesión y regístrelo en la tabla 3.

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−	donde <math>L</math> es el momentum angular del disco. Así como se muestra en la Figura 1, para pequeños cambios de ángulos,<math> d \phi </math>,	+	donde <math>L</math> es el momentum angular del disco. Así como se muestra en la Figura 1, para pequeños cambios de ángulos, <math> d \phi </math>,
		+

	:<center><math>dL = L \cdot d \phi </math></center>		:<center><math>dL = L \cdot d \phi </math></center>

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 Esto causa un torque <math>\tau = mgd</math>. Pero el torque es también igual a
-:<center><math>\tau = dL/dt</math></center>
+:<center><math>\tau = \frac{dL}{dt}</math></center>
-donde <math>L</math> es el momentum angular del disco. Así como se muestra en la Figura 1, para pequeños cambios de ángulos,<math> d  \phi</math>,
+donde <math>L</math> es el momentum angular del disco. Así como se muestra en la Figura 1, para pequeños cambios de ángulos,<math> d  \phi </math>,
-:<center><math>dL = L d \phi</math></center>
+:<center><math>dL = L \cdot d \phi </math></center>