Dinámica de Oscilaciones (Fiz 121) - Revision history

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‎Dinámica de Oscilaciones

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== Dinámica de Oscilaciones ==

=== Objetivo ===

Estudiar la dinámica de objetos que experimental movimiento oscilatorio armónico.

=== Materiales ===

- Cámara ''VideoCom''

- Computador con programa ''VideoCom Movimiento''

- Masas

- Péndulos

- Resortes

- Balanza

- Programa para procesamiento de datos.

=== Introducción ===

De acuerdo con el esquema de la figura 1, al oscilar la masa a lo largo de la vertical, la ecuación de movimiento es,

[[File:Reso1.png|right|thumb|300px| Figura 1]]

:<math>m\ddot{y}=mg - ky</math>

donde <math>y</math> es medido desde el punto de equilibrio <math>y_0</math> en que la masa se encuentra en reposo sometida a la fuerza restauradora del resorte y el peso. La solución a la ecuación de movimiento está dada por,

:<math>y(t)=A \sin(\omega_0 t)</math>

donde A es la amplitud de la oscilación y ω0 es la frecuencia de oscilación, dada por,

:<math>\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}</math>

y se ha elegido como condición inicial <math>y = 0</math> en <math>t = 0</math>.

La energía mecánica del sistema está dada por la suma de los términos de energía cinética y energía potencia.

:<math>E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}ky^2</math>

De acuerdo con el esquema de la figura 2, al oscilar las masa a lo largo de la horizontal, las respectivas ecuaciones de movimiento están dadas por

[[File:Reso2.png|right|thumb|300px| Figura 2]]

:<math>m \ddot{x} =− mg\frac{x}{l} −k(x − y )</math>

:<math>m \ddot{y} =− mg\frac{y}{l} + (x − y )</math>

donde <math>x</math> e <math>y</math> está medidos respecto de la posición de equilibrio de la masa respectiva y se ha supuesto que las masas y largos de cuerdas de los péndulos son idénticas.

Introduciendo <math>\omega_0=\sqrt{g/l}</math> como frecuencia natural de oscilación de cada péndulo aislado, el sistema de ecuaciones puede escribirse como

:<math>\ddot{x} + \omega_0 ^2x =−\frac{k}{m}(x − y )</math>

:<math>m \ddot{y} + \omega_0 ^2y =\frac{k}{m}(x − y )</math>

Para encontrar la solución al sistema de ecuaciones se introducen variables auxiliares <math>X</math> e <math>Y</math>, definidas como,

:<math>X=(x+y)</math>

:<math>Y=(x-y)</math>

Sumando y restando las ecuaciones originales y usando las nuevas variables, se obtienen las ecuaciones independientes

:<math>\ddot{X}+\omega_0^2 X=0</math>

:<math>\ddot{Y}+\left(\omega_0^2+\frac{2k}{m}\right) Y=0</math>

Las soluciones de estas ecuaciones escritas en términos de las nuevas coordenadas implican que el sistema físico tiene dos frecuencias naturales de oscilación,

:<math>\omega_1=\omega_0=\sqrt{\frac{g}{l}}</math>

:<math>\omega_2=\sqrt{\left(\omega_0^2+\frac{2k}{m}\right)}=\sqrt{\left(\frac{g}{l}+\frac{2k}{m}\right)}</math>

Si la oscilación ocurre en fase, esto es, <math>x = y</math>, la dinámica está determinada por la ecuación para <math>X</math> y la frecuencia de oscilación de ambas masas es <math>\omega_1</math>. Si, en cambio, la oscilación ocurre en antifase, es decir, <math>x = -y</math>, la dinámica está descrita por la ecuación para <math>Y</math> y la frecuencia de oscilación es <math>\omega_2</math>.

En general la oscilación ocurre en una combinación de ambos modos de oscilación. En este caso las expresiones que describen la dinámica del sistema son,

:<math>X (t ) = x(t) + y (t) = X_0 \sin(\omega_1t + \phi_1 )</math>

:<math>Y (t ) = x(t ) − y (t ) = Y_0 \sin(\omega_2 t + \phi_2 )</math>

A partir de estas expresiones se puede obtener para la oscilación individual de cada masa,

:<math>x(t ) = \frac{1}{2}( X_0 \sin(\omega_1t + \phi_1 ) + Y_0 \sin(\omega_2 t + \phi_2 ))</math>

:<math>y (t ) = ( X_0 \sin(\omega_1t + \phi_1 ) − Y_0 \sin(\omega_2 t + \phi_2 ))</math>

Para el caso particular en que <math>X_0 = Y_0 = 2A</math> y <math>\phi_1 = \phi_2 = 0</math>, se obtiene,

:<math>x(t)=2A\cos \left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}t\right) \cdot \sin\left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}t\right) </math>

:<math>y(t)=2A\cos \left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}t\right) \cdot \sin\left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}t\right)=2A\cos \left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}t+\frac{\pi}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}t + \frac{\pi}{2}\right)</math>

La energía mecánica del sistema, suponiendo que la oscilación es puramente a lo largo de la horizontal, está dada por,

:<math>E = \frac{1}{2}k (l_0 − ( y − x ))^2 + \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2</math>

donde <math>l_0</math> es la longitud del resorte en equilibrio y <math>v_1</math>, <math>v_2</math> son las velocidades de las masas.

=== Montaje Experimental ===

[[File:Reso3.png|center|thumb|500px| Figura 3: Montaje Experimental]]

=== Procedimiento ===

En este laboratorio se desarrollarán dos experimentos:

: 1. Dinámica de oscilación de una masa unida a un resorte, a lo largo de la vertical

: 2. Dinámica de oscilación de dos péndulos acoplados por un resorte, a lo largo de la horizontal.

Para el procesamiento cuantitativo de sus datos experimentales necesario conocer las masas involucradas, la constante elástica del resorte, su longitud y los largos de péndulos.. Para el montaje A) siga el siguiente procedimiento:

* Para un valor dado de la masa unida al resorte, elegida de modo tal que el resorte experimente en reposo un estiramiento moderado, registre el movimiento oscilatorio a lo largo de la vertical.

* Repita la medición anterior para un par de valores adicionales de la masa.

Para el montaje B) siga el procedimiento siguiente:

* Construya el sistema de péndulos acoplados por un resorte, como muestra la figura 3. Cuide que las masas sean lo más iguales posibles y que el largo de los péndulos sea el
mismo.

* Con el sistema en reposo mida cuidadosamente la longitud del resorte en equilibrio y el
largo de los péndulos.

* Ponga los péndulos a oscilar en fase, esto es, en la misma dirección, y registre el movimiento de las masas durante un tiempo suficiente como para que se observen varios períodos de oscilación de las mismas.

* Ponga los péndulos a oscilar en contrafase, esto es, en direcciones opuestas, y registre el movimiento de las masas durante un tiempo suficiente como para que se observen varios períodos de oscilación de las mismas.

* Ponga los péndulos a oscilar de manera arbitraria, cuidando que la oscilación sea a lo largo de una línea en dirección horizontal, y registre el movimiento de las masas durante un tiempo suficiente como para que se observen varios períodos de oscilación de las mismas.

=== Análisis ===

Obtenidos los datos experimentales, realice el siguiente proceso de análisis:

==== <u> Experimento A)</u> ====

: a) Determine experimentalmente la frecuencia de oscilación de la masa y compare con el valor que predice el modelo teórico.

: b) Genere gráficos que muestren la evolución temporal de la energía cinética, energía potencia y energía mecánica total del sistema.

: c) A partir de los gráficos obtenidos, discuta la conservación de la energía mecánica en su sistema.

==== <u>Experimento B)</u> ====

: a) Para cada una de las mediciones realizadas genere gráficos que muestren en sus experimentos la evolución temporal la amplitud de oscilación de ambas masas y de las coordenadas generalizadas <math>X</math> e <math>Y</math>, introducidas en el modelo teórico.

: b) A partir de los gráficos anteriores determine las frecuencias características <math>\omega_1</math> y <math>\omega_2</math>, y compare con los valores que predice el modelo teórico.

: c) Genere en cada caso gráficos para las energías cinética, potencial y mecánica total del sistema.

: d) A partir de los gráficos obtenidos, discuta la conservación de energía mecánica en su sistema.

@@ Line 101: / Line 101: @@
 :::<m>X (t ) = x(t) + y (t) = X_0 \cdot \sin(\omega_1t + \phi_1 )</m>
-:::<m>Y (t ) = x(t ) − y (t ) = Y_0 \cdot \sin(\omega_2 t + \phi_2 )</m>
+:::<m>Y (t ) = x(t ) - y (t ) = Y_0 \cdot \sin(\omega_2 t + \phi_2 )</m>
@@ Line 108: / Line 108: @@
 :::<m>x(t ) = \frac{1}{2}( X_0 \cdot \sin(\omega_1t + \phi_1 ) + Y_0 \sin(\omega_2 t + \phi_2 ))</m>
-:::<m>y (t ) = ( X_0 \cdot \sin(\omega_1t + \phi_1 ) − Y_0 \sin(\omega_2 t + \phi_2 ))</m>
+:::<m>y (t ) = ( X_0 \cdot \sin(\omega_1t + \phi_1 ) - Y_0 \sin(\omega_2 t + \phi_2 ))</m>
@@ Line 121: / Line 121: @@
-:::<m>E = \frac{1}{2}k (l_0 − ( y − x ))^2 + \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2</m>
+:::<m>E = \frac{1}{2}k (l_0 - ( y - x ))^2 + \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2</m>

@@ Line 54: / Line 54: @@
 [[File:Reso2.png|right|thumb|300px| Figura 2]]
-:::<m>m \ddot{x} =- mg\frac{x}{l} −k(x - y )</m>
+:::<m>m \ddot{x} =- mg\frac{x}{l} -k(x - y )</m>
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 Introduciendo <m>\omega_0=\sqrt{g/l}</m> como frecuencia natural de oscilación de cada péndulo aislado, el sistema de ecuaciones puede escribirse como
-:::<m>\ddot{x} + \omega_0 ^2x =−\frac{k}{m}(x − y )</m>
+:::<m>\ddot{x} + \omega_0 ^2x =-\frac{k}{m}(x - y )</m>
-:::<m>m \ddot{y} + \omega_0 ^2y =\frac{k}{m}(x − y )</m>
+:::<m>m \ddot{y} + \omega_0 ^2y =\frac{k}{m}(x - y )</m>

@@ Line 35: / Line 35: @@
 donde <m>y</m> es medido desde el punto de equilibrio <m>y_0</m> en que la masa se encuentra en reposo sometida a la fuerza restauradora del resorte y el peso. La solución a la ecuación de movimiento está dada por,
 :::<m>y(t)=A \cdot \sin(\omega_0 t)</m>
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 [[File:Reso2.png|right|thumb|300px| Figura 2]]
-:::<m>m \ddot{x} =− mg\frac{x}{l} −k(x − y )</m>
+:::<m>m \ddot{x} =- mg\frac{x}{l} −k(x - y )</m>
-:::<m>m \ddot{y} =− mg\frac{y}{l} + (x − y )</m>
+:::<m>m \ddot{y} =- mg\frac{y}{l} + (x - y )</m>

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	donde <m>y</m> es medido desde el punto de equilibrio <m>y_0</m> en que la masa se encuentra en reposo sometida a la fuerza restauradora del resorte y el peso. La solución a la ecuación de movimiento está dada por,		donde <m>y</m> es medido desde el punto de equilibrio <m>y_0</m> en que la masa se encuentra en reposo sometida a la fuerza restauradora del resorte y el peso. La solución a la ecuación de movimiento está dada por,

		+	:::<m>y(t)=A \cdot \sin(\omega_0 t)</m>
	:::<m>y(t)=A \cdot \sin(\omega_0 t)</m>		:::<m>y(t)=A \cdot \sin(\omega_0 t)</m>

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	donde <math>y</math> es medido desde el punto de equilibrio <math>y_0</math> en que la masa se encuentra en reposo sometida a la fuerza restauradora del resorte y el peso. La solución a la ecuación de movimiento está dada por,		donde <math>y</math> es medido desde el punto de equilibrio <math>y_0</math> en que la masa se encuentra en reposo sometida a la fuerza restauradora del resorte y el peso. La solución a la ecuación de movimiento está dada por,

−	:::<math>y(t)=A \sin(\omega_0 t)</math>	+	:::<math>y(t)=A \cdot \sin(\omega_0 t)</math>

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-:<math>m\ddot{y}=mg - ky</math>
+:::<math>m\ddot{y}=mg - ky</math>
 donde <math>y</math> es medido desde el punto de equilibrio <math>y_0</math> en que la masa se encuentra en reposo sometida a la fuerza restauradora del resorte y el peso. La solución a la ecuación de movimiento está dada por,
-:<math>y(t)=A \sin(\omega_0 t)</math>
+:::<math>y(t)=A \sin(\omega_0 t)</math>
 donde A es la amplitud de la oscilación y ω0 es la frecuencia de oscilación, dada por,
-:<math>\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}</math>
+:::<math>\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}</math>
 y se ha elegido como condición inicial <math>y = 0</math> en <math>t = 0</math>.
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 La energía mecánica del sistema está dada por la suma de los términos de energía cinética y energía potencia.
-:<math>E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}ky^2</math>
+:::<math>E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}ky^2</math>
 De acuerdo con el esquema de la figura 2, al oscilar las masa a lo largo de la horizontal, las respectivas ecuaciones de movimiento están dadas por
@@ Line 50: / Line 50: @@
 [[File:Reso2.png|right|thumb|300px| Figura 2]]
-:<math>m \ddot{x} =− mg\frac{x}{l} −k(x − y )</math>
+:::<math>m \ddot{x} =− mg\frac{x}{l} −k(x − y )</math>
 donde <math>x</math> e <math>y</math> está medidos respecto de la posición de equilibrio de la masa respectiva y se ha supuesto que las masas y largos de cuerdas de los péndulos son idénticas.
@@ Line 58: / Line 57: @@
 Introduciendo <math>\omega_0=\sqrt{g/l}</math> como frecuencia natural de oscilación de cada péndulo aislado, el sistema de ecuaciones puede escribirse como
-:<math>\ddot{x} + \omega_0 ^2x =−\frac{k}{m}(x − y )</math>
+:::<math>\ddot{x} + \omega_0 ^2x =−\frac{k}{m}(x − y )</math>
 Para encontrar la solución al sistema de ecuaciones se introducen variables auxiliares <math>X</math> e <math>Y</math>, definidas como,
-:<math>X=(x+y)</math>
+:::<math>X=(x+y)</math>
 Sumando y restando las ecuaciones originales y usando las nuevas variables, se obtienen las ecuaciones independientes
-:<math>\ddot{X}+\omega_0^2 X=0</math>
+:::<math>\ddot{X}+\omega_0^2 X=0</math>
 Las soluciones de estas ecuaciones escritas en términos de las nuevas coordenadas implican que el sistema físico tiene dos frecuencias naturales de oscilación,
-:<math>\omega_1=\omega_0=\sqrt{\frac{g}{l}}</math>
+:::<math>\omega_1=\omega_0=\sqrt{\frac{g}{l}}</math>
 Si la oscilación ocurre en fase, esto es, <math>x = y</math>, la dinámica está determinada por la ecuación para <math>X</math> y la frecuencia de oscilación de ambas masas es <math>\omega_1</math>. Si, en cambio, la oscilación ocurre en antifase, es decir, <math>x = -y</math>, la dinámica está descrita por la ecuación para <math>Y</math> y la frecuencia de oscilación es <math>\omega_2</math>.
@@ Line 85: / Line 80: @@
 En general la oscilación ocurre en una combinación de ambos modos de oscilación. En este caso las expresiones que describen la dinámica del sistema son,
-:<math>X (t ) = x(t) + y (t) = X_0 \sin(\omega_1t + \phi_1 )</math>
+:::<math>X (t ) = x(t) + y (t) = X_0 \cdot \sin(\omega_1t + \phi_1 )</math>
 A partir de estas expresiones se puede obtener para la oscilación individual de cada masa,
-:<math>x(t ) = \frac{1}{2}( X_0 \sin(\omega_1t + \phi_1 ) + Y_0 \sin(\omega_2 t + \phi_2 ))</math>
+:::<math>x(t ) = \frac{1}{2}( X_0 \cdot \sin(\omega_1t + \phi_1 ) + Y_0 \sin(\omega_2 t + \phi_2 ))</math>
 Para el caso particular en que <math>X_0 = Y_0 = 2A</math> y <math>\phi_1 = \phi_2 = 0</math>, se obtiene,
-:<math>x(t)=2A\cos \left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}t\right) \cdot \sin\left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}t\right) </math>
+:::<math>x(t)=2A\cos \left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}t\right) \cdot \sin\left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}t\right) </math>
-:<math>y(t)=2A\cos \left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}t\right) \cdot \sin\left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}t\right)=2A\cos \left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}t+\frac{\pi}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}t + \frac{\pi}{2}\right)</math>
+:::<math>y(t)=2A\cos \left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}t\right) \cdot \sin\left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}t\right)=2A\cos \left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}t+\frac{\pi}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}t + \frac{\pi}{2}\right)</math>
@@ Line 105: / Line 98: @@
-:<math>E = \frac{1}{2}k (l_0 − ( y − x ))^2 + \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2</math>
+:::<math>E = \frac{1}{2}k (l_0 − ( y − x ))^2 + \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2</math>