Determinación del Índice Adiabático (Fis 152)

Determinación del Índice Adiabático

Objetivos

- Medir la razón de los calores específicos del aire a presión constante y a volumen constante, mediante el método de Clément y Désormes.

Introducción

El método más antiguo para medir el índice adiabático ( $\gamma$ ) de un gas ideal es el diseñado por Clement y Désormes. Hoy en día existen métodos más precisos para determinar esta cantidad, sin embargo dado lo sencillo y didáctico de este método, es muy conveniente estudiarlo.

Esencialmente este método consiste en bombear el gas dentro de un recipiente de gran volumen hasta que su presión sea ligeramente mayor que la atmosférica, esto se lleva a cabo permitiendo que el gas alcance el equilibrio térmico con su entorno. Cuando se ha alcanzado este estado de equilibrio, se deja que parte del gas abandone libremente el recipiente hasta que la presión dentro del recipiente se iguale a la presión atmosférica. Tal expansión puede ser considerada aproximadamente adiabática, y puesto que el gas hace trabajo empujando la atmósfera al salir del recipiente, su temperatura disminuye. Luego de ocurrida esta expansión, se tapa rápidamente el orificio de salida del gas impidiendo que siga ocurriendo el intercambio gaseoso con el medio. En este estado se vuelve a dejar que el gas alcance el equilibrio térmico con el entorno. Este último proceso tiene lugar a volumen constante por lo cual se considera como isocórico. La determinación del valor de $\gamma$ se realiza a través de las mediciones de la presión del gas antes de la expansión adiabática y luego de alcanzado el equilibrio térmico por segunda vez. La descripción teórica de estos procesos es presentada en la sección siguiente.

Para registrar las variaciones de temperatura experimentada por el gas utilizaremos un termistor. Por ello, este laboratorio contempla realizar previamente la calibración de un termistor, el cual tiene una mayor sensibilidad que el termómetro de mercurio común.

Un termistor es esencialmente un termómetro el que utiliza como sustancia termométrica un semiconductor y como propiedad termométrica su resistencia eléctrica. La particularidad de este tipo de termómetros, es su alta sensibilidad a las variaciones de temperatura, debido a que el semiconductor presenta una gran variación de su resistencia eléctrica en función de la temperatura. Como veremos en la experimentación, el termistor exhibe una disminución en su resistencia eléctrica a medida que aumenta su temperatura.

Descripción y Teoría del Experimento.

El dispositivo experimental utilizado en este experimento es mostrado en la figura 1. Este consta de un frasco de un volumen interior aproximado de 10 litros y en su boca un tapón con tres orificios. En uno de estos orificios está conectado un manómetro de tubo en U con líquido manométrico ligero (agua). En otro está conectada una pera a través de una válvula de vidrio, y en el orifico restante está conectada una válvula de tubo la cual es utilizada para liberar el gas en la expansión adiabática. Adicionalmente hemos puesto el termistor dentro del recipiente para poder registrar los cambios de temperatura sufridos por el gas. Las variaciones de la resistencia eléctrica del termistor son registradas mediante un multímetro digital.

Considere una masa de gas encerrada en el frasco a presión $P_1$ , la que es un poco mayor a la presión atmosférica $P_0$ . La presión $P_1$ puede ser medida a través de la determinación de la diferencia de alturas $h_1$ de las dos columnas de agua de densidad $\rho$ contenida en el manómetro mostrado en la figura 1, esto es:

$P_1=P_0 + \rho \cdot g \cdot h_1 \qquad \qquad \qquad (1)$

La temperatura inicial del gas es $T_1$ , que es la temperatura del laboratorio. Suponga que momentáneamente se abre la válvula de escape del gas, permitiendo que este alcance la presión atmosférica $P_0$ . El cambio de presión es tan rápido que podemos considerar que ocurre adiabáticamente. Al expandirse el gas este hace trabajo dado que desplaza gas al salir fuera del recipiente. Por ello inmediatamente después de cerrada la válvula, la temperatura del gas que permanece en el recipiente es menor que la temperatura ambiente. Si se permite ahora que el gas se caliente hasta alcanzar la temperatura ambiente, la presión del gas aumentará hasta un valor $P_2$ , dado por:

$P_2=P_0 + \rho \cdot g \cdot h_2 \qquad \qquad \qquad (2)$

donde $h_2$ es la diferencia de alturas de las columnas de líquido en el manómetro.

Consideremos que $v_1$ , $v_0$ y $v_2$ denotan los volúmenes específicos inicial, intermedio y final del gas en el recipiente. Si la expansión desde el estado inicial (presión $P_1$ y volumen específico $v_1$ ) al estado intermedio (presión $P_0$ y volumen $v_0$ ) es adiabática, la presión y volúmenes están relacionados por la ecuación:

$P_1 \cdot v_1^{\gamma}=P_0 \cdot v_0^{\gamma} \qquad \qquad \qquad (3)$

donde $\gamma$ es el índice adiabático. Dado que el gas en los estados inicial y final tienen la misma temperatura, de la ecuación de estado se tiene que la relación entre estas presiones y volúmenes es,

$P_1 \cdot v_1=P_2 \cdot v_2 \qquad \qquad \qquad (4)$

Además dado que la misma masa de gas está en los estados intermedio y final, se tiene que $v_0 = v_2$ .

Luego para encontrar la relación existente entre el índice adiabático y las diferentes presiones, es necesario eliminar la dependencia de los volúmenes específicos. Para ello, la ecuación (4) la podemos escribir como:

$\left( \frac{v_1}{v_2} \right)^{\gamma} = \left( \frac{P_2}{P_1} \right)^{\gamma} \qquad \qquad \qquad (5)$

y combinando esta última ecuación con la ecuación (3) y el hecho que $v_0 = v_2$ , se tiene que:

$\frac{P_0}{P_1} = \left( \frac{P_2}{P_1} \right)^{\gamma} \qquad \qquad \qquad (6)$

Así podemos despejar el valor de $\gamma$ , y obtener que:

$\gamma = \frac{\log \left(P_0/P_1 \right) }{\log \left(P_2/P_1 \right)} \qquad \qquad \qquad (7)$

Sin embargo es posible obtener una expresión más simple si consideramos que la presión siempre es cercana a la presión atmosférica. Para ello, evaluamos primero las ecuaciones (1) y (2) en la ecuación (6), con lo que obtenemos:

$\frac{P_1-\rho \cdot g \cdot h_1}{P_1} = \left( \frac{P_1+ \rho \cdot g \cdot (h_2-h_1)}{P_1} \right)^{\gamma} \qquad \qquad \qquad (8)$

lo que es equivalente a,

$1- \frac{\rho \cdot g \cdot h_1}{P_1} = \left(1 + \frac{\rho \cdot g \cdot (h_2-h_1)}{P_1} \right)^{\gamma} \qquad \qquad \qquad (9)$

Luego, considerando que si el término $\frac{\rho g (h_2-h_1)}{P_1}$ es mucho menor que la unidad, podemos remplazar el lado derecho de la ecuación (9) por los dos primeros términos de la expansión en series de esta expresión. Así, la ecuación nos queda:

$1- \frac{\rho \cdot g \cdot h_1}{P_1} = 1 + \gamma \frac{\rho \cdot g \cdot (h_2-h_1)}{P_1} \qquad \qquad \qquad (10)$

Despejando se obtiene finalmente que:

$\gamma = \frac{h_1}{h_1-h_2} \qquad \qquad \qquad (11)$

Por lo tanto podremos utilizar esta expresión para calcular el valor de $\gamma$ y para ello solo será necesario registrar cuidadosamente los valores de $h_1$ y $h_2$ .

Como se mencionó en la introducción, previo a la realización de este experimento se deberá calibrar el termistor. Note que en la determinación del índice adiabático no es necesario medir la temperatura, sin embargo es muy instructivo poder notar las variaciones de esta en el proceso en cuestión.

I. Determinación del índice adiabático

Equipamiento Requerido

- Montaje experimental del experimento de Clément y Désormes (figura 1).

Procedimiento

1. Verifique que la válvula de tubo este cerrada y que la válvula de vidrio permita el paso de aire desde la pera hacia la botella esté abierta.

2. Comprima el aire del frasco mediante la pera, asegurándose de no sobrepasar la presión máxima admitida por el manómetro en U.

3. Cierre la válvula de vidrio y espere a que el aire en el interior de la botella adquiera la temperatura ambiente (usted notará que la columna de agua disminuirá paulatinamente su altura hasta llegar a un equilibrio).

4. Cuando el sistema esté en equilibro, mida la diferencia de alturas, $h_1$ , entre las ramas del manómetro.

5. Abra la válvula de tubo que comunica con el exterior hasta que la presión interior sea igual a la atmosférica, y luego cierre esta válvula (note que este procedimiento debe ser realizado lo más rápido posible).

6. Espere a que el aire en le interior de la botella adquiera nuevamente la temperatura ambiente, y registre el valor de la diferencia de alturas de las columnas de agua como $h_2$ .

Análisis

1. Determine el valor del índice adiabático del aire (utilice la ecuación 11).

2. Compare el valor obtenido con el valor esperado y comente porqué el resultado es siempre inferior al valor real (para el aire $\gamma = 1,4$ ). Repita el experimento unas tres veces y comente sus resultados.

3. Realice un gráfico P-v de todo el proceso, incluyendo las temperaturas que usted registró con el termistor.

4. Encuentre los valores de la capacidad calorífica a presión constante y volumen constante. Justifique claramente como obtiene estos valores.

5. ¿Por qué cuando se deja escapar el aire desde la botella el proceso se puede considerar como adiabático?

Determinación del Índice Adiabático (Fis 152)

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